Himpunan

HIMPUNAN

A.    Pengertian Himpunan

Himpunan dalam matematika merupakan  segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Himpunan juga merupakan kumpulan sejumlah benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas,  sedangkan objek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota atau elemen. Objek suatu himpunan sangat bervariasi, ada berupa angka, huruf, buah-buahan, hewan, benda lain, atau berupa orang tertentu, dan sebagainya.

B.     Notasi Himpunan

Himpunan biasanya ditulis dengan huruf capital seperti S, A, B, T, D, dan sebagainya. Sementara elemen himpunan di tulis dengan huruf kecil seperti a, b, c, d, dan sebagainya. Himpunan-himpunan yang cukup dikenal , seperti bilangan kompleks, riil, bulat, asli, cacah dan sebagainya menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Notasi
Asli Bulat Rasional Riil Kompleks

Dalam matematika, penulisan suatu himpunan diawali dengan symbol “{“ dan diakhiri dengan “}” . Untuk lebih symbol-simbol yang digunakan dalam himpunan disajikan dalam table berikut.

Simbol	Arti
atau //	Himpunan kosong Operasi gabungan dua himpunan Operasi irisan dua himpunan Subhimpunan Subhimpunan sejati Superhimpunan Superhimpunan sejati Komplemen Himpunan kuasa Elemen Saling lepas

C.    Cara Menyatakan Himpunan

Penulisan sebuah himpunan dapat dilakukan dengan dua macam cara, yaitu cara daftar dan cara kaidah. Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh objek yang menjadi anggota himpunan tersebut. Misalnya, himpunan A terdiri dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5, ditulis dengan cara daftar A = {1,2,3,4,5}. Adapun cara kaidah ialah dengan menyatakan ciri tertentu dari objek yang menjadi anggota himpunan tersebut. Misalnya, himpunan A diatas kalau ditulis dengan cara kaidah adalah A = {x| x bilangan bulat, 0 < x < 6}. Cara daftar menunjukkan dengan jelas anggota sebuah himpunan, tetapi untuk keadaan tertentu menjadi sulit, misalnya himpunan yang mempunyai tidak terhingga banyaknya anggota.

D.    Jenis-jenis Himpunan

Adapun jenis-jenis himpunan yaitu :

1.      Himpunan semseta

Himpunan semesta merupakan himpunan dari semua unsur yang digunakan. Himpunan semseta disebut juga dengan himpunan Universal. Himpunan semesta dinotasikan dengan S.

Contoh :

asumsikan himpunan semesta adalah , maka :

{2, 3, 4, 5} = {x, x   : 1 < x < 6}

2.      Himpunan Bagian

Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam satu himpunan misalnya B juga anggota himpunan lainnya misalnya A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. Himpunan  bagian dinotasikan dengan  .

Contoh :

A = { 2,3,4,5}

B = {3,4,5,7,8,9}

A  B = { 3,4,5 }

3.      Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki sama sekali anggota. Himpunan kosong dinotasikan dengan  atau .

Contoh :

A = { n   : 2 < n < 3  }

A = {}

Sebab tidak ada bilangan bulat antara 2 dan 3

4.      Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) misalnya dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan .

Contoh :

Asumsikan A = {0, 1}

 = {, {0}, {1}, {0, 1}}

5.      Himpunan Berhingga

Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Jika himpunan S memiliki n buah elemen yang berbeda maka S adalah himpunan berhingga dan n adalah kardinalitas dari S. kardinalitas dari S dinotasikan dengan |S|

Contoh :

Hitung kardinalitas dari S = {0, 1, 1, 2, 3, 4, 3}

Solusi :

Pada S jumlah elemen yang berbeda ada 5, yaitu 0, 1, 2, 3,  dan 4. Oleh karenanya |S| = 5.

6.      Himpunan Tak Hingga

Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga.

Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}.

7.      Himpunan Equal/Sama

Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya :

A= {b,c,d}

B={d,c,b}
A=B

8.      Himpunan Ekuivalen

TRUKTURHimpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d}

B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B

9.      Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.

Contohnya :

A = {d,e,f}

B = {g,h,i}

maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B.

10.  Himpunan Bilangan Cacah

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya

contoh :

K = {0,1,2,3,4,5}

11.  Himpunan Bilangan Asli

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.

Contohnya :

D = {1,2,3,4,}

12. Himpunan Bilangan Genap

Himpunan bilangan genapadalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua

Contohnya :

G = {2,4,6,8,10}

13. Himpunan Bilangan Ganjil

Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua

Contohnya :

K = {1,3,5,7}

14. Himpunan Bilangan Prima

Himpunan bilanagn prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua factor.

Contohnya :

Y = {2,3,,5,7}

15. Himpunan Kuadrat Bilangan Cacah

Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.

Contohnya :

Y = {0,1²,3²)

16.  Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n.

A = {2, 4, 6, 8, …}

17.  Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah  ).

E.     Operasi Himpunan

Operasi pada himpunan meliputi :

1.      Gabungan (Union)

Misalkan ada dua buah himpunan yaitu himpunan A dan B. Gabungan (Union) himpunan A dan B dinyatakan A  B adalah himpunan yang memuat anggota A atau anggota B. gabungan A dan B dapat didefinisikan secara ringkas oleh A  B = { x | x  elemen A atau x elemen B}

2.      Irisan (Intersection)

Irisan dua himpunan A dan B dinyatakan dengan A   Badalah himpunan dari semua anggota yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu semua anggota yang termasuk di dalam A dan juga termasuk di dalam B. irisan A dan B dapat didefinisikan secara ringkas oleh A  B = { x | x elemen A dan x elemen B}.

3.      Selisih

Selisih dua himpunan A dan B ditulis dengan A – B adalah himpunan dari semua anggota yang termasuk di dalam A tetapi tidak termasuk di dalam B. Selisih A dan B didefinisikan secara ringkas oleh A – B = {x | x elemen A dan x bukan elemen B}.

4.      Komplemen

Komplemen dari himpunan A dituliskan dengan notasi A^k adalah himpunan yang memuat semua anggota S (himpunan semesta) yang tidak dimiliki oleh A. Komplemen A didefinisikan secara ringkas oleh A­­^k = {x | x elemen S dan x bukan elemen A}.

5.      Perkalian Dua Himpunan

Perkalian himpunan A dan B dinotasikan dengan A x B adalah himpunan yang terdiri atas semua pasangan (x₁,x₂) yang mungkin, dengan x₁ elemen A dan x₂ elemen B. Perkalian A dan B dapat didefinisikan secara ringkas oleh A x B = {(x₁,x₂) | x₁ elemen A, x₂ elemen B}.