Laman

Selasa, 04 Juni 2013

Himpunan



HIMPUNAN

A.    Pengertian Himpunan
Himpunan dalam matematika merupakan  segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Himpunan juga merupakan kumpulan sejumlah benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas,  sedangkan objek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota atau elemen. Objek suatu himpunan sangat bervariasi, ada berupa angka, huruf, buah-buahan, hewan, benda lain, atau berupa orang tertentu, dan sebagainya.
B.     Notasi Himpunan
Himpunan biasanya ditulis dengan huruf capital seperti S, A, B, T, D, dan sebagainya. Sementara elemen himpunan di tulis dengan huruf kecil seperti a, b, c, d, dan sebagainya. Himpunan-himpunan yang cukup dikenal , seperti bilangan kompleks, riil, bulat, asli, cacah dan sebagainya menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan
Notasi
Asli
Bulat
Rasional
Riil
Kompleks
Description: \mathbb{N}
Description: \mathbb{Z}
Description: \mathbb{Q}
Description: \mathbb{R}
Description: \mathbb{C}




Dalam matematika, penulisan suatu himpunan diawali dengan symbol “{“ dan diakhiri dengan “}” . Untuk lebih symbol-simbol yang digunakan dalam himpunan disajikan dalam table berikut.
Simbol
Arti
Description: \{ \} atau Description: \varnothing
Description: \cup
Description: \cap
Description: \subseteq
Description: \subset
Description: \supseteq
Description: \supset
Description: A^C
Description: \mathcal{P}(A)
//
Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
Subhimpunan
Subhimpunan sejati
Superhimpunan
Superhimpunan sejati
Komplemen
Himpunan kuasa
Elemen

Saling lepas
C.    Cara Menyatakan Himpunan
Penulisan sebuah himpunan dapat dilakukan dengan dua macam cara, yaitu cara daftar dan cara kaidah. Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh objek yang menjadi anggota himpunan tersebut. Misalnya, himpunan A terdiri dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5, ditulis dengan cara daftar A = {1,2,3,4,5}. Adapun cara kaidah ialah dengan menyatakan ciri tertentu dari objek yang menjadi anggota himpunan tersebut. Misalnya, himpunan A diatas kalau ditulis dengan cara kaidah adalah A = {x| x bilangan bulat, 0 < x < 6}. Cara daftar menunjukkan dengan jelas anggota sebuah himpunan, tetapi untuk keadaan tertentu menjadi sulit, misalnya himpunan yang mempunyai tidak terhingga banyaknya anggota.

D.    Jenis-jenis Himpunan
Adapun jenis-jenis himpunan yaitu :
1.      Himpunan semseta
Himpunan semesta merupakan himpunan dari semua unsur yang digunakan. Himpunan semseta disebut juga dengan himpunan Universal. Himpunan semesta dinotasikan dengan S.
Contoh :
asumsikan himpunan semesta adalah Description: \mathbb{N}, maka :
{2, 3, 4, 5} = {x, x  Description: \mathbb{N} : 1 < x < 6}
2.      Himpunan Bagian
Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam satu himpunan misalnya B juga anggota himpunan lainnya misalnya A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. Himpunan  bagian dinotasikan dengan Description: \subseteq .
Contoh :
A = { 2,3,4,5}
B = {3,4,5,7,8,9}
A Description: \subseteq B = { 3,4,5 }
3.      Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki sama sekali anggota. Himpunan kosong dinotasikan dengan Description: \{ \} atau Description: \varnothing.
Contoh :
A = { n  Description: \mathbb{Z} : 2 < n < 3  }
A = {}
Sebab tidak ada bilangan bulat antara 2 dan 3
4.      Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) misalnya dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan Description: Description: \mathcal{P}(A).
Contoh :
Asumsikan A = {0, 1}
Description: Description: \mathcal{P}(A) = {Description: \varnothing, {0}, {1}, {0, 1}}
5.      Himpunan Berhingga
Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Jika himpunan S memiliki n buah elemen yang berbeda maka S adalah himpunan berhingga dan n adalah kardinalitas dari S. kardinalitas dari S dinotasikan dengan |S|
Contoh :
Hitung kardinalitas dari S = {0, 1, 1, 2, 3, 4, 3}
Solusi :
Pada S jumlah elemen yang berbeda ada 5, yaitu 0, 1, 2, 3,  dan 4. Oleh karenanya |S| = 5.
6.      Himpunan Tak Hingga
Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga.
Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}.
7.      Himpunan Equal/Sama
Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya :
A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A=B
8.      Himpunan Ekuivalen
TRUKTURHimpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B
9.      Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
Contohnya :
A = {d,e,f}
B = {g,h,i}
maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B.
10.  Himpunan Bilangan Cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya
contoh :
K = {0,1,2,3,4,5}
11.  Himpunan Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
Contohnya :
D = {1,2,3,4,}
  1. Himpunan Bilangan Genap
Himpunan bilangan genapadalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
Contohnya :
G = {2,4,6,8,10}
  1. Himpunan Bilangan Ganjil
Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
Contohnya :
K = {1,3,5,7}
  1. Himpunan Bilangan Prima
Himpunan bilanagn prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua factor.
Contohnya :
Y = {2,3,,5,7}
  1. Himpunan Kuadrat Bilangan Cacah
Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.
Contohnya :
Y = {0,12,32)
16.  Himpunan Denumerabel
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan Description: \mathbb{N}, yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas Description: \mathfrak{a}.
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n.
A = {2, 4, 6, 8, …}
17.  Himpunan Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas Description: \mathfrak{c}. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas Description: \mathfrak{c}, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah  ).

E.     Operasi Himpunan
Operasi pada himpunan meliputi :
1.      Gabungan (Union)
Misalkan ada dua buah himpunan yaitu himpunan A dan B. Gabungan (Union) himpunan A dan B dinyatakan A Description: \cup B adalah himpunan yang memuat anggota A atau anggota B. gabungan A dan B dapat didefinisikan secara ringkas oleh A Description: \cup B = { x | x  elemen A atau x elemen B}
2.      Irisan (Intersection)
Irisan dua himpunan A dan B dinyatakan dengan A Description: \cap  Badalah himpunan dari semua anggota yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu semua anggota yang termasuk di dalam A dan juga termasuk di dalam B. irisan A dan B dapat didefinisikan secara ringkas oleh A Description: \cap B = { x | x elemen A dan x elemen B}.
3.      Selisih
Selisih dua himpunan A dan B ditulis dengan A – B adalah himpunan dari semua anggota yang termasuk di dalam A tetapi tidak termasuk di dalam B. Selisih A dan B didefinisikan secara ringkas oleh A – B = {x | x elemen A dan x bukan elemen B}.
4.      Komplemen
Komplemen dari himpunan A dituliskan dengan notasi Ak adalah himpunan yang memuat semua anggota S (himpunan semesta) yang tidak dimiliki oleh A. Komplemen A didefinisikan secara ringkas oleh A­­k = {x | x elemen S dan x bukan elemen A}.
5.      Perkalian Dua Himpunan
Perkalian himpunan A dan B dinotasikan dengan A x B adalah himpunan yang terdiri atas semua pasangan (x1,x2) yang mungkin, dengan x1 elemen A dan x2 elemen B. Perkalian A dan B dapat didefinisikan secara ringkas oleh A x B = {(x1,x2) | x1 elemen A, x2 elemen B}.




           




Tidak ada komentar:

Poskan Komentar