GRUP
Grup dalam matematika adalah suatu
himpunan yang disertai dengan satu operasi biner seperti penjumlahan atau
perkalian yang memenuhi aksioma-aksioma yaitu, sifat tertutup, sifat asosiatif,
unsur identitas serta unsur invers. Misalnya,
himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan.
Suatu struktur aljabar (G , *)dari
himpunan tidak kosong G dengan operasi biner *, dikatakan grup jika memenuhi
sifat berikut :
i.
G berlaku ****
(sifat asosiatif)
ii.
G sehingga
berlaku **
(adanya unsur identitas di G)
iii.
, ada sehingga * *
(adanya
unsur invers setiap anggota di G)
Operasi biner yang didefinisikan pada himpunan yang tidak kosong
adlah operasi yang memenuhi sifat tertutup.
Jika (G , *) merupakan grup dan memenuhi sifat komutatif
yaitu
** G
Maka
G disebut grup komutatif. Dan jika tidak
memenuhi sifat komutatif G disebut grup tidak komutatif.
Misalkan
G himpunan tidak kosong dengan operasi biner * didefinisikan pada G, maka:
i.
(G, *) disebut grupoid
ii.
Suatu grupoid (G, *) yang memenuhi sifat
asosiatif disebut semigrup
iii.
Suatu semigrup (G, *) yang mempunyai
unsur identitas disebut monoid.
Jika (G, *) suatu
monoid dan setiap anggota G mempunyai invers di G maka (G, *) merupakan grup.
Misalkan (G, *) adalah
grup.
a.
Jika banyaknya anggota G terhingga, maka
(G, *) disebut grup terhingga
b.
Jika banyaknya anggota G takterhingga,
maka (G, *) disebut gup takterhingga.
Sifat- sifat grup:
a.
Unsur identitas suatu grup adalah tunggal
b.
Setiap anggota suatu grup mempunyai
invers tunggal
c.
Invers dari invers suatu anggota dalam
grup adalah anggota itu sendiri
d.
Suatu grupoid (G, *) dan G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri
jika mengakibatkan dan dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan
jika mengakibatkan . Selanjutnya jika (G,
*) memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kanan, maka (G, *)
dikatakan memenuhi hukum pencoretan.
e.
Setiap grup memenuhi hukum pencoretan
f.
Jika (G, *) adalah grup dan G maka berlaku
g.
Jika sebarang anggota dari grup (G, *), maka
persamaan dan masing-masing mempunyai penyelesaian secara
tunggal di (G, *)
h.
Suatu semigrup g, membentuk grup jika G persamaan dan masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal
di G
i.
Suatu semi grup G disebut grup jika,
(i)
Ada G sehingga G
(ii)
G, ada G sehingga
( disebut identitas kiri dan disebut invers kiri dari di G)
j.
Identitas kiri dari suatu grup juga
merupakan identitas kanan
k.
Invers kiri dari suatu grup juga
merupakan invers kanan
l.
Identitas kanan dari suatu grup juga
merupakan identitas kiri
m.
Invers kanan dari suatu grup juga
merupakan invers kiri
Tidak ada komentar:
Posting Komentar