Halaman

Selasa, 04 Juni 2013

GRUP


GRUP
Grup dalam matematika adalah suatu himpunan yang disertai dengan satu operasi biner seperti penjumlahan atau perkalian yang memenuhi aksioma-aksioma yaitu, sifat tertutup, sifat asosiatif, unsur identitas serta unsur invers. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan.
Suatu struktur aljabar (G , *)dari himpunan tidak kosong G dengan operasi biner *, dikatakan grup jika memenuhi sifat berikut :
                     i.             G berlaku ****                                
(sifat asosiatif)
                   ii.             G  sehingga  berlaku **        
(adanya unsur identitas di G)
                  iii.            , ada  sehingga  * *       
(adanya unsur invers setiap    anggota di G)
Operasi biner yang didefinisikan pada himpunan yang tidak kosong adlah operasi yang memenuhi sifat tertutup.
Jika (G , *) merupakan grup dan memenuhi sifat komutatif yaitu
                                ** G
                Maka G disebut grup komutatif.  Dan jika tidak memenuhi sifat komutatif G disebut grup tidak komutatif.
                Misalkan G himpunan tidak kosong dengan operasi biner * didefinisikan pada G, maka:
i.                     (G, *) disebut grupoid
ii.                   Suatu grupoid (G, *) yang memenuhi sifat asosiatif disebut semigrup
iii.                  Suatu semigrup (G, *) yang mempunyai unsur identitas disebut monoid.
Jika (G, *) suatu monoid dan setiap anggota G mempunyai invers di G maka (G, *) merupakan grup.
Misalkan (G, *) adalah grup.
a.       Jika banyaknya anggota G terhingga, maka (G, *) disebut grup terhingga
b.      Jika banyaknya anggota G takterhingga, maka (G, *) disebut gup takterhingga.
Sifat- sifat grup:
a.       Unsur identitas suatu grup adalah tunggal
b.      Setiap anggota suatu grup mempunyai invers tunggal
c.       Invers dari invers suatu anggota dalam grup adalah anggota itu sendiri
d.      Suatu grupoid (G, *) dan  G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika  mengakibatkan  dan dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika  mengakibatkan . Selanjutnya jika (G, *) memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kanan, maka (G, *) dikatakan memenuhi hukum pencoretan.
e.      Setiap grup memenuhi hukum pencoretan
f.        Jika (G, *) adalah grup dan  G maka berlaku  
g.       Jika  sebarang anggota dari grup (G, *), maka persamaan dan  masing-masing mempunyai penyelesaian secara tunggal di (G, *)
h.      Suatu semigrup g, membentuk grup jika  G persamaan  dan  masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal di G
i.         Suatu semi grup G disebut grup jika,
(i)                  Ada  G sehingga   G
(ii)                 G, ada  G sehingga   
( disebut identitas kiri dan  disebut invers kiri dari  di G)
j.        Identitas kiri dari suatu grup juga merupakan identitas kanan
k.       Invers kiri dari suatu grup juga merupakan invers kanan
l.         Identitas kanan dari suatu grup juga merupakan identitas kiri
m.    Invers kanan dari suatu grup juga merupakan invers kiri





Tidak ada komentar:

Posting Komentar