Teorema Nilai Rata-Rata
Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value Theorem) adalah salah satu
teorema penting didalam kalkulus. Teorema tersebut menyatakan: jika Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada interval tertutup [a,b] dan terturun
(differentiable) pada interval terbuka (a,b) maka terdapat paling tidak satu c
pada (a,b) sedemikian hingga
Maksud dari antiseden Teorema Nilai Rata-rata adalah jika fungsi f(x) digambarkan grafiknya dari
a sampai b maka grafik tersebut akan mulus tidak putus-putus. Sedangkan maksud konsekuennya adalah nilai IA sama dengan gradien (kemiringan) garis yang
melalui titik (a,f(a)) dan (b,f(b)). Untuk lebih jelasnya perhatikan
gambar berikut:
Dalam kacamata fisika, turunan adalah kecepatan. Teorema Nilai Rata-rata
bisa kita ilustrasikan sebagai berikut: Ada sebuah mobil yang berjalan sejauh
100km selama 1 jam. Ituu berarti mobil tersebut mempunyai kecepatan rata-rata
100km/jam. Tentu saja selama perjalanan mobil itu bisa melaju kurang atau lebih
dari 100km/jam. Berdasarkan TNR kita tahu satu hal ada titik (tidak harus
tunggal) didalam perjalanan dimana mobil itu melaju tepat 100km/jam. Jika f(a)=f(b)
maka Teorema Nilai Rata-rata menjadi Teorema Rolle. Itu berarti Teorema Nilai Rata-rata merupakan generalisasi dari teorema
Rolle. Nah sekarang kita buktikan Teorema Nilai Rata-rata
Bukti:
Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada [a,b] dan
terturun pada (a,b). Didefinsikan fungsi h(x) sebagai berikut:
Jelas, h(x) kontinyu pada [a,b] dan
terturun pada (a,b) dan dengan mudah dihitung. Itu berarti h(a)=h(b) memenuhi
kondisi h(x) dari teorema Rolle. Berdasarkan teorema Rolle terdapat
sedemikian hingga h’(C)=0.
Jika h(x) diturunkan, diperoleh
Karena h’(C)=0 . maka:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar