Halaman

Rabu, 06 Juni 2012

Paper "Teorema nilai rata-rata"


Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value Theorem) adalah salah satu teorema penting didalam kalkulus. Teorema tersebut menyatakan: jika Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada interval tertutup [a,b]  dan terturun (differentiable) pada interval terbuka (a,b) maka terdapat paling tidak satu c pada (a,b) sedemikian hingga

Maksud dari antiseden Teorema Nilai Rata-rata adalah jika fungsi f(x) digambarkan grafiknya dari a sampai b maka grafik tersebut akan mulus tidak putus-putus. Sedangkan maksud konsekuennya adalah nilai IA sama dengan gradien (kemiringan) garis yang melalui titik (a,f(a)) dan (b,f(b)). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
 

Dalam kacamata fisika, turunan adalah kecepatan. Teorema Nilai Rata-rata bisa kita ilustrasikan sebagai berikut: Ada sebuah mobil yang berjalan sejauh 100km selama 1 jam. Ituu berarti mobil tersebut mempunyai kecepatan rata-rata 100km/jam. Tentu saja selama perjalanan mobil itu bisa melaju kurang atau lebih dari 100km/jam. Berdasarkan TNR kita tahu satu hal ada titik (tidak harus tunggal) didalam perjalanan dimana mobil itu melaju tepat 100km/jam. Jika f(a)=f(b) maka Teorema Nilai Rata-rata menjadi Teorema Rolle. Itu berarti Teorema Nilai Rata-rata merupakan generalisasi dari teorema Rolle. Nah sekarang kita buktikan Teorema Nilai Rata-rata

Bukti:
Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada [a,b] dan terturun pada (a,b). Didefinsikan fungsi h(x) sebagai berikut:

 
Jelas,  h(x) kontinyu pada [a,b] dan terturun pada  (a,b) dan dengan mudah dihitung. Itu berarti h(a)=h(b) memenuhi kondisi h(x) dari teorema Rolle. Berdasarkan teorema Rolle terdapat  sedemikian hingga h’(C)=0.
Jika h(x) diturunkan, diperoleh
Karena h’(C)=0 . maka:


Tidak ada komentar:

Posting Komentar