HIMPUNAN
A. Pengertian Himpunan
Himpunan
dalam matematika merupakan segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.
Himpunan juga merupakan kumpulan sejumlah benda atau objek yang didefinisikan
dengan jelas, sedangkan objek yang mengisi
atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota atau elemen. Objek suatu
himpunan sangat bervariasi, ada berupa angka, huruf, buah-buahan, hewan, benda
lain, atau berupa orang tertentu, dan sebagainya.
B.
Notasi
Himpunan
Himpunan
biasanya ditulis dengan huruf capital seperti S, A, B, T, D, dan sebagainya.
Sementara elemen himpunan di tulis dengan huruf kecil seperti a, b, c, d, dan
sebagainya. Himpunan-himpunan yang cukup dikenal , seperti bilangan kompleks,
riil, bulat, asli, cacah dan sebagainya menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan
|
Notasi
|
Asli
Bulat
Rasional
Riil
Kompleks
|
|
Dalam
matematika, penulisan suatu himpunan diawali dengan symbol “{“ dan diakhiri
dengan “}” . Untuk lebih symbol-simbol yang digunakan dalam himpunan disajikan dalam
table berikut.
Simbol
|
Arti
|
atau
//
|
Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
Subhimpunan
Subhimpunan sejati
Superhimpunan
Superhimpunan sejati
Komplemen
Himpunan kuasa
Elemen
Saling lepas
|
C.
Cara
Menyatakan Himpunan
Penulisan sebuah
himpunan dapat dilakukan dengan dua macam cara, yaitu cara daftar dan cara
kaidah. Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh objek yang menjadi
anggota himpunan tersebut. Misalnya, himpunan A terdiri dari bilangan-bilangan
1, 2, 3, 4, dan 5, ditulis dengan cara daftar A = {1,2,3,4,5}. Adapun cara
kaidah ialah dengan menyatakan ciri tertentu dari objek yang menjadi anggota
himpunan tersebut. Misalnya, himpunan A diatas kalau ditulis dengan cara kaidah
adalah A = {x| x bilangan bulat, 0
< x < 6}. Cara daftar
menunjukkan dengan jelas anggota sebuah himpunan, tetapi untuk keadaan tertentu
menjadi sulit, misalnya himpunan yang mempunyai tidak terhingga banyaknya
anggota.
D.
Jenis-jenis
Himpunan
Adapun
jenis-jenis himpunan yaitu :
1. Himpunan
semseta
Himpunan
semesta merupakan himpunan dari semua unsur yang digunakan. Himpunan semseta
disebut juga dengan himpunan Universal.
Himpunan semesta dinotasikan dengan S.
Contoh
:
asumsikan
himpunan semesta adalah ,
maka :
{2,
3, 4, 5} = {x, x : 1 < x
< 6}
2. Himpunan Bagian
Himpunan bagian adalah apabila
setiap unsur dalam satu himpunan misalnya B juga anggota himpunan lainnya
misalnya A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. Himpunan bagian dinotasikan dengan .
Contoh :
A = { 2,3,4,5}
B = {3,4,5,7,8,9}
A B = { 3,4,5 }
3. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu
himpunan yang tidak memiliki sama sekali anggota. Himpunan kosong dinotasikan
dengan atau .
Contoh :
A = { n : 2 < n < 3 }
A = {}
Sebab tidak ada bilangan bulat
antara 2 dan 3
4. Himpunan
Kuasa
Himpunan
kuasa (power set) misalnya dari A
adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan .
Contoh
:
Asumsikan
A = {0, 1}
= {,
{0}, {1}, {0, 1}}
5. Himpunan
Berhingga
Himpunan
berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Jika
himpunan S memiliki n buah elemen yang berbeda maka S adalah himpunan berhingga
dan n adalah kardinalitas dari S. kardinalitas dari S dinotasikan dengan |S|
Contoh
:
Hitung
kardinalitas dari S = {0, 1, 1, 2, 3, 4, 3}
Solusi
:
Pada
S jumlah elemen yang berbeda ada 5, yaitu 0, 1, 2, 3, dan 4. Oleh karenanya |S| = 5.
6. Himpunan
Tak Hingga
Himpunan
tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak
hingga.
Contohnya:
A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}.
7. Himpunan
Equal/Sama
Himpunan
equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya :
A=
{b,c,d}
B={d,c,b}
A=B
8. Himpunan
Ekuivalen
TRUKTURHimpunan
ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B
9. Himpunan
Lepas
Himpunan
lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan
himpunan lain.
Contohnya
:
A
= {d,e,f}
B
= {g,h,i}
maka
himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B.
10. Himpunan Bilangan Cacah
Himpunan bilangan cacah adalah
himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya
contoh :
K = {0,1,2,3,4,5}
11. Himpunan Bilangan Asli
Himpunan
bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan
satu dan seterusnya.
Contohnya
:
D
= {1,2,3,4,}
- Himpunan Bilangan Genap
Himpunan
bilangan genapadalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu
genap atau habis dibagi dua
Contohnya
:
G
= {2,4,6,8,10}
- Himpunan Bilangan Ganjil
Himpunan
bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
Contohnya
:
K
= {1,3,5,7}
- Himpunan Bilangan Prima
Himpunan
bilanagn prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang
memiliki dua factor.
Contohnya
:
Y
= {2,3,,5,7}
- Himpunan Kuadrat Bilangan Cacah
Himpunan
kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya
dipangkatkan dua.
Contohnya
:
Y
= {0,12,32)
16. Himpunan Denumerabel
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan
bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai
kardinalitas .
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan
denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut
dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n.
A = {2, 4, 6, 8, …}
17. Himpunan
Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak
tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah
himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut
sebagai kardinalitas .
Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki
kardinalitas ,
karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan
seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah ).
E.
Operasi
Himpunan
Operasi pada himpunan
meliputi :
1. Gabungan
(Union)
Misalkan
ada dua buah himpunan yaitu himpunan A dan B. Gabungan (Union) himpunan A dan B dinyatakan A B
adalah himpunan yang memuat anggota A atau
anggota B. gabungan A dan B dapat didefinisikan secara ringkas oleh A B = { x | x elemen A atau x elemen B}
2. Irisan
(Intersection)
Irisan
dua himpunan A dan B dinyatakan dengan A Badalah himpunan dari semua anggota yang
dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu semua anggota yang termasuk di dalam A dan
juga termasuk di dalam B. irisan A dan B dapat didefinisikan secara ringkas
oleh A B = { x | x
elemen A dan x elemen B}.
3.
Selisih
Selisih dua himpunan A dan B ditulis dengan A – B adalah
himpunan dari semua anggota yang termasuk di dalam A tetapi tidak termasuk di
dalam B. Selisih A dan B didefinisikan secara ringkas oleh A – B = {x | x
elemen A dan x bukan elemen B}.
4.
Komplemen
Komplemen dari himpunan A dituliskan dengan notasi Ak adalah
himpunan yang memuat semua anggota S (himpunan semesta) yang tidak dimiliki
oleh A. Komplemen A didefinisikan secara ringkas oleh Ak = {x |
x elemen S dan x bukan elemen A}.
5.
Perkalian Dua Himpunan
Perkalian himpunan A dan B dinotasikan dengan A x B adalah
himpunan yang terdiri atas semua pasangan (x1,x2)
yang mungkin, dengan x1 elemen
A dan x2 elemen B. Perkalian
A dan B dapat didefinisikan secara ringkas oleh A x B = {(x1,x2) | x1
elemen A, x2 elemen
B}.